易科国际：FIR思维(2)——滤波器越长越好?

　　我们身处的时代崇尚“越大越好”。在最近的一个SynAudCon论坛帖子中，我表示这一至理名言也许并不适用于FIR滤波器长度。

　　这篇文章写就时，DSP支持的滤波器长度通常为1024点(tabs)，有些高达4096点。为什么我不想要或不需要长度更长的FIR滤波器?如果生厂商在DSP中引入8192点的FIR滤波器，我会舍弃竞争产品而选择它吗?

　　频率越低，时间越长

　　首先，我们需要一份用于练习和实验的文件。可使用扬声器的测量数据，但稍微简单的文件更易于帮助我们发现重要的点。

　　请查看图1作为参考。我在FIRCapture软件中创建该系列提升滤波器(分离的以一个倍频程为带宽的对称均衡器)并保存为WAV文件。可通过任何9段参量均衡器轻松创建此响应。

　　图1：作者测试文件的转换函数(通过FIRCapture软件创建)

　　我选择Q=6以最大化减少滤波器之间的重叠。这一组滤波器又构成了一个滤波器，它与扬声器的响应并无二致，更别提在最高频和最低频处必不可少的高通和低通响应了。如果这就是一个扬声器的响应(让我们假设如此)，我们将希望对凸起部分进行均衡处理，以获得整体较为平坦的响应。通过该文件，我们可以很好地考察FIR滤波器的频率解析度。

　　频域视图显示频率响应的振幅、相位和群延时。请注意，相位和群延时是两种不同的方式，显示信号通过时，滤波器如何改变其时间行为。由于相位是相对的，因此每个凸起的相位行为都相同。

　　在之前的文章中我演示过，一个带通滤波器的最小相位响应首先呈正向，然后在滤波器的中心频率回到原点，最后为负向。这个相位偏移将使得通过滤波器的信号产生与频率相关的振铃现象(Ringing)。振铃现象持续的时间由群延时图显示。

　　图2是该滤波器的频域/时域综合图。图3显示了每个分离倍频程的中心频率的波长。二者有何相关?由于声速约为1英尺/毫秒(ft/ms)，每个倍频程的中心频率波长大约等同于一周期所需时间。波长的概念以十分形象的方式显示声波与时间和空间有关，而滤波器的响应也是如此。

　　图2：同一信号的频域vs.时域图。请注意在时域视图中，提升滤波器的振铃现象(非延时)。也请注意在此视图中振铃现象的解析度更佳(红色大约等同于群延时图示)

　　图3：每个倍频程中心频率的波长。无论使用何种类型滤波器，时间/频率/波长的相互关系最终决定了FIR滤波器所需的解析度

　　群延时(GD)与滤波器的频率波长成正比关系，频率越低，群延时越长。单从名称来看，似乎指的是信号通过滤波器所造成的延时，这有点误导人。滤波器的储存属性造成了振铃现象，即信号中增加了多余周期。

　　群延时显示了提升滤波器占据的时长。低频凸起具有很长的振铃，这不足为奇。群延时与滤波器频率成反比(与波长成正比)，相位偏移相等时，频率越低，群延时越长。

　　为方便演示，我们以图4所示的信号处理链路为例。我们输入一个测试信号，看看将发生什么。图5为2通道示波器显示的结果。蓝色轨迹为1000Hz6.5周期的小波。这是Don Keele测试信号中的一个。红色轨迹为此信号通过一个1000Hz提升滤波器之后的结果。请注意，原信号和通过滤波处理的信号相位一致，但是经过滤波器的信号周期增加了。这是在时域观察的振铃现象。一个削减滤波器的振铃现象将占据同等时长。

　　图4：Rane HALDSP上的信号处理设置，用于延时滤波器的振铃现象。

　　图5：一个6.5周期(1kHz)的小波。蓝色曲线为原信号。红色曲线为信号通过一个1kHz 6dB提升滤波器(Q=6)之后的响应。请注意，信号经过滤波器模块本身并不造成延时，但是信号包络(绿色轮廓)跨越更长时间。

　　IIR均衡

　　一个模拟或数字无线脉冲响应滤波器(IIR filter)如何校正响应?必须是产生与凸起相反的振幅响应和相位偏移。由于IIR滤波器是循环的，即利用反馈将一部分输出信号返回到输入端进行再处理(可类比电容的充电和放电)。

　　因此，IIR滤波器在操作过程中没有低频限制(起码与FIR滤波器相比时如此)，而且不会造成大量处理延时。只要有输入信号，就会有输出信号，滤波器的脉冲响应(理论上)永远不会衰减到零。

　　正向群延时是窄频段提升滤波器的标志(图1)，而负向群延时是削减滤波器的标志。图7显示了通过一款受欢迎的DSP的EQ模块实现的一组IIR滤波器。通过对比图1每个凸起以及图7每个陷波的振幅以及相位，可以发现图7的均衡器可以完全校正我文件的响应。

　　顺便提一句，窄频段信号的群延时并不代表信号延时，而显示了滤波器振铃现象所占的时长。音频中有些术语并非字面上的含义，比如“恒定电压”(Constant voltage)，但这是另外一个话题，这里不再赘述。

　　最小相位FIR EQ

　　下面让我们讨论最小相位FIR。它的响应可以和参量均衡器生成的IIR滤波器一模一样。关键的区别在于FIR滤波器的响应与驱动信号完全无关。它是有限长度的脉冲响应，频率解析度与长度相关。

　　由于T = 1/F，要影响的频率越低，需要的滤波器长度越长(时间跨度，更多点位数)。对低频凸起进行校正需要在每一个频率引入振幅和相位的共轭，这也会与群延时共轭。对于低频凸起而言，这是非常长的时间跨度。

　　再看回图1。由于该滤波器是最小相位滤波器，因此处理延时很小，与IIR滤波器的差不多。差别在于FIR滤波器的带宽由它的长度决定(图6)，因此需要一个长度非常长的滤波器对低频凸起进行均衡处理。这与创建滤波器所采用的处理算法无关。

　　图6：时间和频率解析度的相互关系。频域视图以脉冲事实到达的时间作为参考(T0)且时间跨度延展至T。由于此时到达的是一个完美的脉冲，这个FIR作为纯粹的延时，它的带宽由点位数量决定。

　　图7：一个参量EQ模块(IIR)可以完全校正我的示范文件。它的频率解析度比FIR滤波器更高，而需要调用的DSP资源则少得多。

　　频率解析度

　　从图6中可看出，一个1024点、采样率为48 kHz的最小相位FIR滤波器，长度为21毫秒。由于T=1/F，此滤波器的频率解析度为47.6 Hz。

　　这意味这什么?这意味着在频域视图下，每个数据点之间的间隔。

　　它同时也表示滤波器能影响的最低频率。而事实上的频率解析度还要低一些(能影响的最低频率还要稍高一些)，因为往往需要几个周期的波形才能确定某一频率。

　　要是增加更多点位呢?滤波器长度加倍将使得频率解析度加倍，使得数据点之间的频率间隔变成24 Hz。

　　它还使得低频限制下潜一半，去到24Hz。这一趋势将继续，点位数每加倍，将使得滤波器的响应下潜一个倍频程。因此，长度更长的FIR滤波器将使得：

　　1) 滤波器扩展至更低频率。

　　2)滤波器的频率响应呈现更多细节，因为数据点更加密集。

　　在最小相位FIR滤波器这种情况下，更多点位数大有裨益，因为这意味着滤波器可以扩展至更低频率。由于这是最小相位滤波器，因此相比IIR滤波器并没有增加额外的处理延时。要使我的示范文件获得平滑的响应，大约需要4096点，这远超过现有DSP能支持的点位数，这使得需要更多点位数的争论愈演愈烈。

　　先别着急下结论

　　让我们再认真考虑。最小相位FIR的行为与最小相位IIR滤波器一样，只不过需要足够多的点位数才能影响欲达到的最低频率。低频均衡需要更长的滤波器长度。

　　但是为什么要在DSP中通过占用大量系统资源的FIR滤波器模块来创建一个最小相位滤波器呢?一个精心调节的参量均衡模块(IIR)将占用少得多的系统资源，但产生同样平滑的响应，且频率解析度更佳(图7)。使用尽可能少的系统资源得到所需结果，在音频行业是最佳实践，而使用FIR滤波器进行最小相位均衡并不高效。

　　接下来让我们思考校正的响应不是最小相位的这种情况。我在参考文件中，将一个二阶全通滤波器(500 Hz)添加至响应中(图8)。这将在滤波器的整个带宽中造成相位偏移，但是对振幅响应的影响最小。在事实应用中，这种全通行为可能源于使用了分频网络。最小相位FIR滤波器不能补偿这样的额外的相位偏移。

　　图8：在参考文件中增加了一个全通滤波器。最终形成了一个非最小相位滤波器。需要一个线性FIR滤波器校正此响应。

　　线性相位FIR

　　一个线性相位FIR具有对称的脉冲响应，主信号到达时间位于脉冲响应(IR)的中间(图9)。我们将到达峰值设为相对时间零，在此之前的时间跨度提供了“负时间”到达，用于共轭主到达峰值之后的能量到达。

　　图9：线性相位滤波器最多储存一半点位，用于相位均衡/回声消除，并将滤波器的带宽减少一个倍频程。上面的频域视图以脉冲事实到达的时间(T0)为参考，时间跨度延展至T。以上所示为Dirac脉冲，行为类似纯延时(pure delay)。请注意，将T0移动至T/2降低了频率解析度(2/T)。

　　这些“预延时”与事实时间之间存在因果关系，但是与主要的信息到达时间没有因果关系。这允许滤波器通过相反的“负时间”响应对反射能量进行补偿。

　　所以，如果点位长度为1024个点，线性相位FIR滤波器将把主到达时间置于T/2处，让一半滤波器长度提供预到达时间，以共轭扬声器或房间产生的后到达能量。它还允许引入所需的负向群延时，以补偿分频器的全通响应。

　　因为将一半的滤波器长度用于“负时间”校正，滤波器的频率解析度将减半。例如，1024点的最小相位FIR滤波器频率解析度为47.6 Hz。而同样长度的线性相位FIR滤波器频率解析度为95.2 Hz，因为预留了一半长度用于相位均衡。

　　点位数越多越好？

　　对于最小相位FIR滤波器而言，似乎如此。问题在于非最小相位滤波器需要预留一半长度用于相位均衡。这会表现为处理延时(常错误地被称为延迟)。与最小相位FIR滤波器不同，随着线性相位FIR滤波器的长度增加以提高其频率解析度，它的延时也会增长。这不是由DSP的速度造成，而源于TF = 1。

　　现在再调出我的参考文件，只不过这次是一系列的削减滤波器，削减的频率与原有提升滤波器(图10)一致。从之前的讨论中得知，群延时视图(蓝线)显示滤波器振铃现象的时间长度。请注意，它现在呈负向，但这仅意味着这个滤波器产生的相位偏移在整个带宽不断扩大。并不表示出现了“时间提前”或者滤波器的响应是非因果关系的。

　　图10：均衡参考文件的一系列削减滤波器。可观察到，较低频率的几个倍频程其群延时(右轴)无可避免非常长。

　　无法回避的是，频率越低，滤波器发挥影响需要的时间越长，在最低倍频程的中心频率(31.5 Hz)这个时间将变得非常长(~40 ms)。对于现场演出和许多固定安装应用来说，这么长时间的处理延时是不可接受的。一个1024点的FIR滤波器(48 kHz采样率)时长为21毫秒，意味着处理延时大约为10.5毫秒。

　　将采样率提升至96 kHz并不会降低处理延时，因为必须处理的采样数量也加倍了。无法改变的事实是，21毫秒的长度最低仅可以影响48Hz，而事实上的频率解析度是48Hz的3倍，或者说是150 Hz。

　　问题变得更糟糕

　　线性相位FIR滤波器还有另一个缺点。由于“相对时间零”位于滤波器时长的中间，其频率解析度是最小相位FIR滤波器的一半。

　　因此，如果一个1024点的最小相位FIR滤波器最低可以影响150Hz，那么一个1024点的线性相位FIR滤波器最低只可以影响300Hz。

　　影响的频率要下潜至150Hz将需要一个2048点的滤波器，意味着处理延时也要从10.7毫秒翻倍到21毫秒。

　　而针对我的示范文件，将需要一个8196点的FIR滤波器才能使整个通带的响应变得平滑。所需的处理延时约为85毫秒。

　　表面来看，FIR滤波器的长度越长，好处似乎是可以提高频率解析度，从而：

　　1)影响更低频率。

　　2)在整个带宽包含更多细节。

　　我已经向大家展示，至少对于线性相位FIR滤波器而言，要影响更低频率(更多点位数)将提高处理延时。这不是因为处理能力不足而造成，而源于时间和频率的相关性。低频持续较长时间，而且占据大量空间。数字处理无法改变此现状。

　　部分好处

　　在可听频谱内一共有10个倍频程，所以每个倍频程占据整体的十分之一(对数标尺)。滤波器长度加倍，将使得处理延时加倍，而这仅仅使得你均衡处理的频谱多了十分之一。

　　就好比让功放的功率加倍只为了得到3dB提升一样，有时到了一个临界点，得到的回报很少，根本就不值得。在功放的例子中代价是金钱，而对线性相位FIR滤波器而言，代价是延时。可以说，数字处理的货币就是时间。你可以得到很好的效果，前提是可以等待足够长时间。

　　在大多数房间中，最低的两个倍频程(次低频)位于施洛德频率曲线(Schroder Frequency)下方，这时房间模式(room modes)对每个座位的频率响应有深刻影响。即便我们通过线性相位FIR滤波器，将房间中某一点的响应处理得非常“完美”，在其它座位响应也是不一样的，这样做的意义何在?

　　那需要更高的滤波器精度吗?一个1024点的滤波器，数据点之间的频率间隔约为48Hz。如果这还不够校正你的频率响应，很可能你在尝试校正一些根本不应该诉诸均衡处理的东西，比如由于房间反射造成的梳状滤波。频率响应中的“细节”越多，则时间响应越多与“位置相关”，因为这些细节由从不同表面而来的反射造成。

　　移动测试话筒，则响应发生很大改变。一个精度很高的FIR滤波器只适合“校正”空间中的一个点。这可能适用于在特定的话筒位置对会议系统进行回声消除，但这无益于整个观众区。更长的FIR滤波器对现场应用并没有太大意义。

　　更高采样率是否有帮助？

　　纯属坊间传言。很遗憾并非如此。再回到图6，滤波器点位的时间间隔dt=1/SR(采样率)，乘以点位数(N)可以得到滤波器的时间长度(T)。频率解析度(F)为1/T。

　　这是简单的关系，显示了如果采样率加倍，滤波器的频率解析度将降低一半。我们把问题弄得更糟了!如果采样率加倍，那么需要处理的采样数量要乘以2，这样必须要使得滤波器长度加倍，才能保持同样的频率解析度。

　　让我们考察相反的情况。采样率减半将提高滤波器的频率解析度。但是要牺牲高频响应，只能扩展至SR/2。奈奎斯特采样定理(Nyquist-Shannon)是不能否定的。

　　这一切都不能改变线性相位FIR滤波器所需的处理延时，即滤波器时长的一半。更高(更低)的采样率不能改变信号的时间、频率或波长。

　　结论

　　毫无疑问，随着技术的发展我们将来会拥有更长的数字滤波器。芯片不断完善，使用芯片的产品也如此。我们可能还记得16 bit/44.1 kHz的“CD级”音频曾经都是几乎不可能实现的。但是如今很多人都认为它解析度很低。FIR滤波器也将沿着这样的轨迹发展。

　　但是实现更长的滤波器还会遇到一些障碍，而这与技术无关。我在上面的文章中已显示，最主要的障碍是处理延时，这由滤波器必须影响的时间长度有关(见图1)。

　　在现场音响系统中，我们只能容忍一点延时。这个标准不是很精确，但是大部分人会同意超过20毫秒的滤波处理是比较长的时间。这一不可避免的处理延时会增加信号链中其它数字设备的延迟，一般会额外增加10毫秒。处于时间考虑，我们不得不放弃对低频进行线性相位均衡处理，至少对现场应用如此。

　　对高频应用线性相位FIR滤波器，对低频应用最小相位FIR滤波器似乎是一种解决方法。这被称为“混合相位”滤波器，我认为，这将是未来的发展趋势。有些人开始认为IIR滤波器无用武之地了，但是不可否认，它们有最宽的带宽、最低的处理延时而且使用的系统资源比其它任何数字滤波器都要少。请不要拿走我的参量均衡器模块!

　　点位数量不能无限度多，意味着我们必须思考校正的重点是什么及其背后的理由。就好比罐子里只剩下一勺花生酱时，我们要好好利用。我的均衡处理如何影响扬声器的整个覆盖区域，而不仅限于测试话筒所摆放的“黄金位置”?要是考虑多个座位的情况，那线性相位FIR滤波器的魔法光环会迅速褪去。

　　好好运用一个1024点的FIR滤波器，比稀里糊涂使用一个长度更长的滤波器要好。人类认知为模数转换所需的采样率和位深设置了合理限制，时间、频率、波长和延迟也限制了更长FIR滤波器所能带来的好处。在音频行业，把东西弄得更大总是值得商榷，数字滤波器也不例外。这也并非坏事，可以保持平衡，并且促使人们思考是追求真正产生好声音，还是规格参数表的数据更好看。

　　这又诠释了“少即是多”。